Exercice 6, § 16

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, E une extension de K telle qu’il existe un entier $h \geqslant 0$ pour lequel $K(E^{p^h})$ est séparable sur K (ce qui est toujours le cas lorsque E est une extension de K de type fini). a) Si C est une $p$-base de E sur $K(E^p)$, il y a une partie B de C telle que $B^{p^h}$ soit une $p$-base de $K(E^{p^h})$ sur $K(E^{p^{h+1}})$; B est une partie algébriquement libre sur K. Montrer que l’extension $F = K(E^{p^h})(B)$ est séparable sur K, et E est extension algébrique de F. b) Montrer que B est une $p$-base de F sur $K(F^p)$. Montrer que si $x \in E$ et si m est le plus petit entier tel que $x^{p^m} \in F$, on a $x^{p^m} \in K(F^{p^m})$; par suite E est un sous-corps du corps $K^{p^{-\infty}}(F)$ (isomorphe à $K^{p^{-\infty}} \otimes_K F$). On dit qu’une sous-extension F de E est distinguée si elle est séparable sur K et si E est sous-corps de $K^{p^{-\infty}}(F)$; F est alors une extension séparable maximale de K dans E. c) Soient P un corps parfait de caractéristique $p > 0$, $K = P(X, Y)$ le corps des fractions rationnelles à deux indéterminées, $\Omega$ une extension algébriquement close du corps de fractions rationnelles $K(Z)$ sur K. Si $u \in \Omega$ est tel que $u^p = X + YZ^p$, montrer que $E = K(Z, u)$ est une extension de K telle que $K(Z)$ et $K(u)$ sont deux sous-extensions distinguées de E, de sorte qu’il n’existe pas de plus grande sous-extension séparable de E. Si $v \in \Omega$ est tel que $v^{p^2} = X + YZ^p$, montrer que dans l’extension $E' = K(Z, v)$, $K(Z)$ est une sous-extension séparable maximale de E, mais n’est pas une sous-extension distinguée.