Bài tập 6, § 16

Cho K là một trường có đặc số $p > 0$, E là một mở rộng của K sao cho tồn tại một số nguyên $h \geq 0$ mà với nó $K(E^{p^h})$ là tách được trên K (điều này luôn đúng khi E là một mở rộng sinh hữu hạn của K). a) Nếu C là một p-cơ sở của E trên $K(E^p)$, thì tồn tại một tập con B của C sao cho $B^{p^h}$ là một p-cơ sở của $K(E^{p^h})$ trên $K(E^{p^{h+1}})$; B là một tập hợp tự do đại số trên K. Hãy chứng minh rằng mở rộng $F = K(E^{p^h})(B)$ là tách được trên K và E là một mở rộng đại số của F. b) Hãy chứng minh rằng B là một p-cơ sở của F trên $K(F^p)$. Hãy chứng minh rằng nếu $x \in E$ và nếu $m$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $x^{p^m} \in F$, thì $x^{p^m} \in K(F^{p^m})$; do đó E là một trường con của trường $K^{p^{-\infty}}(F)$ (đẳng cấu với $K^{p^{-\infty}} \otimes_K K$). Một mở rộng con F của E được gọi là phân biệt nếu nó tách được trên K và nếu E là một trường con của $K^{p^{-m}}(F)$; khi đó F là một mở rộng tách được cực đại của K trong E. c) Cho P là một trường hoàn hảo có đặc số $p > 0$, $K = P(X, Y)$ là trường các phân thức hữu tỉ theo hai bất định và $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của trường các phân thức hữu tỉ $K(Z)$ trên $K$. Nếu $u \in \Omega$ sao cho $u^p = X + Y Z^p$, hãy chứng minh rằng $E = K(Z, u)$ là một mở rộng của $K$ sao cho $K(Z)$ và $K(u)$ là hai mở rộng con phân biệt của $E$, vì thế không tồn tại mở rộng con tách được lớn hơn nào của $E$. Nếu $v \in \Omega$ sao cho $v^{p^2} = X + Y Z^p$, hãy chứng minh rằng trong mở rộng $E' = K(Z, v)$, $K(Z)$ là một mở rộng con tách được cực đại của $E$ nhưng không phải là một mở rộng con phân biệt.