Exercice 9, § 16

Avec les notations de l’exerc. 8, soit M ⊂ L une sous-extension. Posons m = deg.tr_kM, n = deg.tr_kL, r = n − m. Soient x_1, ..., x_n dans L tels que L soit une extension algébrique séparable de k(x_1, ..., x_n) = K. a) Montrer que, quitte à changer l’indexation des x_i, on peut supposer que L est algébrique sur M(x_1, ..., x_r). b) Montrer qu’il existe une sous-extension de type fini N ⊂ M telle que : α) L soit algébrique sur N(x_1, ..., x_s) ; β) K’ = K(N(x_1, ..., x_r)) soit une extension finie de N(x_1, ..., x_r) ; γ) l’homomorphisme canonique K’ $\otimes_{N(x_1, ..., x_r)} M(x_1, ..., x_r) \to K(M(x_1, ..., x_r)) = K''$ soit bijectif. c) Soit N une sous-extension comme dans b). Montrer successivement que K'' est une extension algébrique séparable de K’ (car L est séparable sur K), que M(x_1, ..., x_r) est une extension algébrique séparable de N(x_1, ..., x_r) (utiliser b), γ)), que M est une extension algébrique séparable de N. d) Montrer que M est une extension algébrique séparable d’une extension transcendante pure (utiliser c) et le fait que N est une extension séparable de type fini de k).