Bài tập 9, § 16

Với ký hiệu của Bài tập 8, cho M ⊂ L là một mở rộng con. Đặt m = tr. deg_kM, n = tr. deg_kL, r = n - m. Cho x_1, ..., x_r trong L sao cho L là một mở rộng đại số tách được của k(x_1, ..., x_r) = K. a) Chứng minh rằng, sau khi đánh số lại các x_i nếu cần, ta có thể giả sử rằng L là đại số trên M(x,, ..., x_r). b) Chứng minh rằng tồn tại một mở rộng con sinh hữu hạn N ⊂ M sao cho: a) L là đại số trên N(x_1, ..., x_r); β) K' = K(N(x_1, ..., x_r)) là một mở rộng hữu hạn của N(x_1, ..., x_r); γ) đồng cấu chính tắc K' $\otimes_{N(x_1, ..., x_r)} M(x_1, ..., x_r) \to K(M(x_1, ..., x_r)) = K''$ là song ánh. c) Cho N là một mở rộng con như trong b). Hãy chứng minh lần lượt rằng K'' là một mở rộng đại số tách được của K' (vì L tách được trên K), rằng M(x,, ..., x_r) là một mở rộng đại số tách được của N(x_1, ..., x_r) (dùng b), γ)) và rằng M là một mở rộng đại số tách được của N. d) Chứng minh rằng M là một mở rộng đại số tách được của một mở rộng siêu việt thuần túy (dùng c) và việc N là một mở rộng tách được sinh hữu hạn của k).