Exercice 1, § 17

Soient K_0 un corps de caractéristique p > 0, K = K_0(X, Y) le corps des fractions rationnelles à deux indéterminées sur K_0, U et V deux indéterminées, Ω une extension algébriquement close de K(U, V), E = K(U, u), où u^p = X + YU^p, et F = K(V, v), où v^p = X + YV^p ; E et F ne sont pas séparables sur K (V, p. 167, exerc. 6, c)).

a) Montrer que K est algébriquement fermé dans E et dans F (si $x \in E$ est algébrique sur K, montrer qu’on a nécessairement $x^p \in K$; si l’on avait $x \notin K$, on aurait $E = K(U, x)$; en déduire que $X^{1/p}$ et $Y^{1/p}$ appartiendraient à $K(x)$). b) Montrer que E et F sont linéairement disjoints sur K, mais que K n’est pas algébriquement fermé dans $K(E \cup F)$. (Prouver que $X^{1/p} \in K(E \cup F)$; en déduire que $v$ ne peut appartenir à $E(V)$, et conclure de là que E et F sont linéairement disjoints sur K.)