Bài tập 1, § 17

Cho K_0 là một trường có đặc số p > 0, K = K_0(X, Y) là trường các phân thức hữu tỉ theo hai bất định trên K_0, U và V là hai bất định, $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của K(U, V), E = K(U, u), trong đó $u^p = X + YU^p$ và F = K(V, o), trong đó $v^p = X + YV^p$; E và F không tách được trên K (V, p. 178, Bài tập 6, c)). a) Chứng minh rằng K là tương đối đóng đại số trong E và trong F (nếu x ∈ E là đại số trên K, hãy chứng minh rằng ta phải có $x^p \in K$; nếu $x \notin K$, thì E = K(U, x), suy ra khi đó $X^{1/p}$ và $Y^{1/p}$ sẽ thuộc K(x)). b) Chứng minh rằng E và F rời nhau tuyến tính trên K nhưng K không tương đối đóng đại số trong K(E U F). (Chứng minh rằng $X^{1/p} \in K(E U F)$; suy ra rằng v không thể thuộc E(V), và từ đó kết luận rằng E và F rời nhau tuyến tính trên K.)