Exercice 2, § 17

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, $\Omega$ une extension de K, E et F deux sous-extensions de $\Omega$, algébriquement disjointes sur K. a) Soit $F_s$ la fermeture séparable de K dans F. Montrer que $E(F_s)$ est la fermeture séparable de E dans E(F). (Se ramener au cas où $F_s = K$; soient B une base de transcendance de E sur K et K’ la fermeture algébrique de K dans F, qui est radicielle sur F ; alors (V, p. 131) $K'(B)$ est la fermeture algébrique de $K(B)$ dans F(B) et est radicielle sur $K(B)$. Si $x \in E(F)$ est algébrique sur E, il existe un entier $r \geq 0$ tel que $x^{p^r} \in M$, où M est une extension séparable de degré fini de F(B), ayant une base $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ sur F(B) formée d’éléments de E. Si $y = \sum_i b_i u_i$ avec $b_i \in F(B)$, montrer, en considérant les F(B)-isomorphismes de M dans une clôture algébrique de E(F), que les $b_i$ appartiennent à $K'(B)$, et en déduire que $y$ est radiciel sur E.) b) On suppose que E et F sont linéairement disjointes sur K, que K est algébriquement fermé dans F et que E est une extension séparable de K. Montrer que E est algébriquement fermé dans E(F). (Se ramener au cas où E est une extension algébrique séparable de K, à l’aide de V, p. 132. Déduire de a) que la fermeture algébrique de E dans E(F) est radicielle sur E, puis utiliser le fait que si $(a_\lambda)$ est une base de E sur K, les $a_\lambda^{p^r}$ forment aussi une base de E sur K.)