Bài tập 2, § 17

Cho K là một trường có đặc số p > 0, $\Omega$ là một mở rộng của K và E, F là hai mở rộng con của $\Omega$, rời nhau về mặt đại số trên K. a) Gọi F_s là bao đóng tách được tương đối của K trong F. Chứng minh rằng E(F_s) là bao đóng tách được tương đối của E trong E(F). (Rút gọn về trường hợp F_s = K; gọi B là một cơ sở siêu việt của E trên K và K' là bao đóng đại số tương đối của K trong F, là căn trên F; khi đó (V, p. 137) K'(B) là bao đóng đại số tương đối của K(B) trong F(B) và là p-căn trên K(B). Nếu x ∈ E(F) là đại số trên E, tồn tại một số nguyên r ≥ 0 sao cho $x^{p^r} \in M$, trong đó M là một mở rộng tách được bậc hữu hạn của F(B), có một cơ sở $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ trên $F(B)$ gồm các phần tử của $E$. Nếu $y = \sum b_i u_i$ với $b_i \in F(B)$, hãy chứng minh bằng cách xét các $F(B)$-đẳng cấu của $M$ vào một bao đóng đại số của $E(F)$ rằng các $b_i$ thuộc $K'(B)$ và suy ra rằng $y$ là p-căn trên $E$.) b) Giả sử rằng $E$ và $F$ rời nhau tuyến tính trên $K$, rằng $K$ đóng đại số tương đối trong $F$ và rằng $E$ là một mở rộng tách được của $K$. Chứng minh rằng $E$ đóng đại số tương đối trong $E(F)$. (Rút gọn về trường hợp $E$ là một mở rộng đại số tách được của $K$, với sự trợ giúp của V, p. 138. Suy ra từ a) rằng bao đóng đại số tương đối của $E$ trong $E(F)$ là p-căn trên $E$ rồi dùng sự kiện rằng nếu $(a_i)$ là một cơ sở của $E$ trên $K$, thì các $a_i^{p'}$ cũng tạo thành một cơ sở của $E$ trên $K$.)