Exercice 4, § 2

Soient K un corps, $\Omega$ une extension de K, et E, F deux sous-extensions linéairement disjointes sur K. Soit C la K-algèbre $K[E \cup F]$, isomorphe à $E \otimes_K F$.

a) Soit E' (resp. F') une sous-extension de E (resp. de F) et posons C' = K[E' ∪ F']. Si un élément a de C' est inversible dans C alors a^{-1} ∈ C'. (Se ramener au cas F' = F. Soit E'' un supplémentaire de E' dans le E'-espace vectoriel E, de sorte que C est isomorphe à C' ⊕ (E'' ⊗_K F). Écrire la matrice de la multiplication par a dans cette décomposition.) \* b) Montrer que si C est un corps, alors E ou F est algébrique sur K. (Si x ∈ E et y ∈ F sont transcendants sur K, on prend E' = K(x), F' = K(y), et a = x + y dans a).)