Bài tập 4, § 2

Cho $K$ là một trường, $\Omega$ là một mở rộng của $K$ và $E, F$ là các trường con mở rộng tuyến tính rời nhau trên $K$. Gọi $C$ là $K$-đại số $K[E \cup F]$ đẳng cấu với $E \otimes_K F$. a) Cho $E'$ (tương ứng $F'$) là một trường con mở rộng của $E$ (tương ứng của $F$) và đặt $C' = K[E' \cup F']$. Nếu một phần tử $a$ của $C'$ khả nghịch trong $C$ thì $a^{-1} \in C'$. (Rút gọn về trường hợp $F' = F$. Gọi

E" là một phần bù của E' trong không gian vectơ E' E, sao cho C đẳng cấu với $C' \oplus (E'' \otimes_K F)$. Hãy biểu diễn ma trận của phép nhân bởi a theo sự phân tích này.) \* b) Chứng minh rằng nếu C là một trường, thì E hoặc F là đại số trên K. (Nếu $x \in E$ và $y \in F$ là siêu việt trên K, lấy $E' = K(x)$, $F' = K(y)$ và $a = x + y$ trong $a$.)