Exercice 11, § 3

Soient $E$ une extension d’un corps $K$, $x \in E$ un élément transcendant sur $K$, de sorte que $K(x)$ est isomorphe au corps $K(T)$ des fractions rationnelles à une indéterminée sur $K$. Tout élément $y \in K(x)$ s’écrit donc $y = g(x)/h(x)$, où $g$ et $h$ sont deux polynômes de $K[X]$ étrangers (IV, p. 12) déterminés à un facteur près appartenant à $K$ et $\neq 0$; on appelle hauteur de $y$ par rapport à $x$ le plus grand des degrés de $g$ et $h$. a) Montrer que, dans l’anneau de polynômes $K(y)[X]$, le polynôme $g(X) - yh(X)$ est irréductible si $y \notin K$. En déduire que si $y$ est de hauteur $n > 0$ par rapport à $x$, $K(x)$ est une extension algébrique de degré $n$ de $K(y)$. Soit $P(X) = \sum_{i=0}^n y_i X^i$ le polynôme minimal de $x$ sur $K(y)$. Montrer que, pour $0 \leq i \leq n$, on a ou bien $y_i \in K$, ou bien $K(y_i) = K(y)$. b) Déduire de a) que tout $y \in K(x)$ tel que $K(y) = K(x)$ est de la forme $(ax + b)/(cx + d)$ où $a, b, c, d$ sont des éléments de $K$ tels que $ad - bc \neq 0$; réciproque. Trouver tous les $K$-automorphismes de $K(x)$. c) Montrer que si $y \in K(x)$ est de hauteur $n$ par rapport à $x$, et $z \in K(y)$ de hauteur $m$ par rapport à $y$, $z$ est de hauteur $mn$ par rapport à $x$. \* d) Soit $F$ une extension de $K$ telle que $K \subset F \subset K(x)$ et $F \neq K$; soit $y$ un élément de $F$ dont la hauteur $m$ par rapport à $x$ est la plus petite possible ; montrer que l’on a $F = K(y)$ (* Théorème de Lüroth *). (Soit $P$ le polynôme minimal de $x$ dans $F[T]$; montrer que l’on a $P(T) = Q(T, x)/R(x)$, où $Q$ est un polynôme de $K[T, X]$ de degré $\geq m$ par rapport à $X$ et qui n’est divisible par aucun polynôme non constant de $K[X]$, et $R$ un polynôme de $K[X]$. Si $y = g(x)/h(x)$, où $g$ et $h$ sont étrangers dans $K[X]$, remarquer d’après a) que le polynôme $g(T)\ h(X) - g(X)\ h(T)$ n’est divisible par aucun polynôme non constant de $K[T]$ ou de $K[X]$; en déduire que l’on a nécessairement

en utilisant l’exerc. 10.) \*