Bài tập 11, § 3

Cho E là một mở rộng của một trường K, $x \in E$ là một phần tử siêu việt trên K, sao cho $K(x)$ là đẳng cấu với trường $K(T)$ gồm các phân thức hữu tỉ theo một phần tử bất định trên K. Do đó mọi $y \in K(x)$ có thể được viết $y = g(x)/h(x)$, trong đó g và h là hai đa thức của $K[X]$ nguyên tố cùng nhau (IV, p. 12), được xác định sai khác bởi một nhân tử chung khác không trong K; số lớn hơn trong các bậc của g và h được gọi là chiều cao của y đối với x. a) Chứng minh rằng trong vành đa thức $K(y)[X]$ đa thức $g(X) - yh(X)$ là bất khả quy nếu $y \notin K$. Suy ra rằng nếu y có chiều cao $n > 0$ đối với x, thì $K(x)$ là một mở rộng đại số bậc n của $K(y)$.

Cho $P(X) = \sum_{i=0}^{n} y_i X^i$ là đa thức tối tiểu của x trên $K(y)$. Chứng minh rằng với $0 \leq i \leq n$ ta có hoặc $y_i \in K$ hoặc $K(y_i) = K(y)$.

b) Suy ra từ a) rằng mọi $y \in K(x)$ sao cho $K(y) = K(x)$ đều có dạng $(ax + b)/(cx + d)$ trong đó a, b, c, d là các phần tử của K sao cho $ad - bc \neq 0$; đảo lại. Tìm tất cả các K-đẳng cấu của $K(x)$.

c) Chứng minh rằng nếu $y \in K(x)$ có chiều cao n đối với x, và $z \in K(y)$ có chiều cao m đối với y, thì z có chiều cao $mn$ đối với x.

\* d) Cho $F$ là một mở rộng của $K$ sao cho $K \subset F \subset K(x)$ và $F \neq K$; cho $y$ là một phần tử của $F$ có chiều cao $m$ đối với $x$ có giá trị nhỏ nhất có thể có; hãy chứng minh rằng $F = K(y)$ ("định lý Liuroth"). (Cho $P$ là đa thức tối tiểu của $x$ trong $F[T]$; hãy chứng minh rằng $P(T) = Q(T, x)/R(x)$, trong đó $Q$ là một đa thức của $K[T, X]$ có bậc $\geq m$ theo $X$ và không chia được cho bất kỳ đa thức hằng khác không nào của $K[X]$, và $R$ là một đa thức của $K[X]$. Nếu $y = g(x)/h(x)$, trong đó $g$ và $h$ nguyên tố cùng nhau trong $K[X]$, hãy nhận xét rằng theo a) đa thức $g(T)h(X) - g(X)h(T)$ không chia được cho bất kỳ đa thức hằng khác không nào của $K[T]$ hoặc của $K[X]$; suy ra tất yếu

trong đó $c \in K$,

sử dụng Bài tập 10.)