Exercice 12, § 3

a) Les notations et hypothèses étant celles de l’exerc. 11, montrer que, pour qu’une extension F de K telle que K ⊂ F ⊂ K(x) soit telle que F ∩ K[x] ≠ K, il faut et il suffit que F = K(y), où y = g(x) pour un polynôme non constant g ∈ K[T] ; on a alors K(y) ∩ K[x] = K[y]. (Écrire F = K(y) avec y = g(x)/h(x), g et h étant deux polynômes de K[T] étrangers. S’il existe un polynôme P ∈ K[T] non constant et tel que P(x) ∈ F, on peut écrire P(x) = Q(y)/R(y), où Q et R sont deux polynômes unitaires de K[T] étrangers et non constants tous deux. Distinguer deux cas selon que R = 1 ou que R est non constant ; dans le second cas, décomposer Q et R en facteurs du premier degré sur une clôture algébrique Ω de K, et observer que si a, b sont deux éléments distincts de Ω, g − ah et g − bh sont étrangers dans Ω[T].) b) Si F = K(y) avec y = g(x), où g ∈ K[T] est non constant, on peut supposer que l’on a g(T) = Tg₁(T), où g₁ ∈ K[T]. Montrer que si K(xg(x)) ∩ K[y] ≠ K, on a nécessairement g₁(T) = aTⁿ avec a ∈ K et n > 0. (Observer que d’après l’hypothèse et a) il y a deux polynômes non constants P, Q dans K[T] tels que P(xg(x)) = Q(g(x)) ∈ K ; en déduire qu’il y a deux éléments a, b de K et un entier m tels que g(T) divise $a - bT^m$.) c) Soient y, z deux éléments de K[x] tels que K(y) ∩ K(z) ≠ K ; montrer que l’on a alors K[y] ∩ K[z] ≠ K. d) Trouver y ∈ K(x) tel que K(y) = K(x) mais K[y] ∩ K[x] = K. \*