Bài tập 12, § 3

a) Với ký hiệu và các giả thiết như trong Bài tập 11, hãy chỉ ra rằng để một mở rộng $F$ của $K$ sao cho $K \subset F \subset K(x)$ thỏa mãn $F \cap K[x] \neq K$, điều kiện cần và đủ là $F = K(y)$ trong đó $y = g(x)$ với một đa thức không hằng $g \in K[T]$; khi đó ta có $K(y) \cap K[x] = K[y]$. (Viết $F = K(y)$ với $y = g(x)/h(x)$, $g$ và $h$ là các đa thức nguyên tố cùng nhau của $K[T]$. Nếu tồn tại một đa thức không hằng $P \in K[T]$ sao cho $P(x) \in F$, ta có thể viết $P(x) = Q(y)/R(y)$, trong đó $Q$ và $R$ là hai đa thức monic nguyên tố cùng nhau của $K[T]$, không đồng thời là hằng. Phân biệt hai trường hợp, tùy theo $R = 1$ hoặc $R$ là không hằng; trong trường hợp thứ hai, phân tích $Q$ và $R$ thành các thừa số bậc nhất trong một bao đóng đại số $\Omega$ của $K$ và nhận xét rằng nếu $a, b$ là các phần tử phân biệt của $\Omega$, thì $g - ah$ và $g - bh$ là nguyên tố cùng nhau trong $\Omega[T]$.)

b) Nếu $F = K(y)$ với $y = g(x)$, trong đó $g \in K[T)$ là không hằng, ta có thể giả sử rằng $g(T) = Tg_1(T)$, trong đó $g_1 \in K[T]$. Hãy chỉ ra rằng nếu $K(xg(x)) \cap K[y] \neq K$, thì tất yếu ta có $g_1(T) = aT^n$ với $a \in K$ và $n > 0$. (Nhận xét rằng theo giả thiết và a) tồn tại hai đa thức không hằng $P, Q$ trong $K[T]$ sao cho $P(xg(x)) = Q(g(x)) \notin K$; suy ra rằng có hai phần tử $a, b$ trong $K$ và một số nguyên $m$ sao cho $g(T)$ chia $a - bT^m$.)

c) Cho $y, z$ là hai phần tử của $K[x]$ sao cho $K(y) \cap K(z) \neq K$; hãy chỉ ra rằng khi đó $K[y] \cap K[z] \neq K$.

d) Tìm $y \in K(x)$ sao cho $K(y) = K(x)$ nhưng $K[y] \cap K[x] = K$.