Exercice 6, § 3

Algèbre, V, p. 141

It is set in small type as supplementary.

Soit C un corps algébriquement clos non dénombrable, et soit P = C[(X_i)_{i∈I}] une algèbre de polynômes sur C. Soient (f_α)_{α∈A}, (g_β)_{β∈B} deux familles d’éléments de P. On suppose : a) B et I sont dénombrables. b) Pour toute partie finie A’ de A et toute partie finie B’ de B, il existe (x_i)_{i∈I} ∈ C’ tel que

f_\alpha(x_i) = 0 \quad \text{et} \quad g_\beta(x_i) \neq 0 \quad \text{pour tout } \alpha \in A’, \beta \in B’.

Montrer qu’il existe alors (x_i)_{i∈I} ∈ C’ tel que

f_\alpha(x_i) = 0 \quad \text{et} \quad g_\beta(x_i) \neq 0 \quad \text{pour tout } \alpha \in A, \beta \in B.

(Soit (Y_β)_{β∈B} une famille d’indéterminées indexée par B et soit Q l’algèbre de polynômes C[(X_i)_{i∈I}, (Y_β)_{β∈B}]. Soit Λ le quotient de Q par l’idéal engendré par les f_α et par les 1 − g_βY_β. Montrer grâce à a) et b) que Λ ≠ 0, et appliquer l’exerc. 5 à un idéal maximal de Λ.)

Solution

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