Bài tập 6, § 3

Cho C là một trường đóng đại số không đếm được và $P = C[(X_i)_{i \in I}]$ là một đại số đa thức trên C. Cho hai họ $(f_\alpha)_{\alpha \in A}, (g_\beta)_{\beta \in B}$ các phần tử của P, giả sử rằng: a) B và I là đếm được. b) Với mọi tập con hữu hạn $A'$ của A và mọi tập con hữu hạn $B'$ của B, tồn tại $(x_i)_{i \in I} \in C^I$ sao cho

Chứng minh rằng khi đó tồn tại $(x_i)_{i \in I} \in C^I$ sao cho

(Gọi $(Y_\beta)_{\beta \in B}$ là một họ các bất định được đánh chỉ số bởi B và gọi Q là đại số đa thức $\mathbf{C}[(X_i)_{i \in I}, (Y_\beta)_{\beta \in B}]$. Gọi A là thương của Q theo iđêan sinh bởi các $f_\alpha$ và các $1 - g_\alpha Y_\alpha$. Chứng minh rằng $A \neq 0$ nhờ a) và b), rồi áp dụng Bài tập 5 cho một iđêan cực đại của A.) \*