Exercice 1, § 5

a) Soient $E$ une extension d’un corps $K$, $x \in E$ un élément transcendant sur $K$, et soit $F = K(x^n)$ pour un entier $n > 1$. Montrer que si l’intersection $F \cap K[(x - 1)(x^n - 1)]$ est distincte de $K$, $K$ est de caractéristique $p > 0$ et $n = p^e$, de sorte que $K(x)$ est extension radicielle de $F$. (En posant $y = x - 1$ et utilisant l’exerc. 12, b) de V, p. 143, montrer que l’on a $(y + 1)^n - 1 = ay^n$ pour un $a \in K$.) b) Montrer que si $K \subset F' \subset K(x)$ et si $K(x)$ n’est pas une extension radicielle de $F'$ et si $K \neq F' \neq K(x)$, il existe $z \in K[x]$ tel que $z \notin K$ et $F' \cap K[z] = K$. (Raisonner par l’absurde, en utilisant a) et l’exerc. 12, b) de V, p. 143.) c) Sous les mêmes hypothèses que dans b), on suppose que $F' = K(y)$, où $y \in K[x]$; montrer qu’il existe $u \in K[x]$ tel que $u \notin K$ et $F' \cap K(u) = F' \cap K[u] = K$. (Remarquer que s’il n’en était pas ainsi, on aurait $F' \cap K[z] \neq K$ pour tout $z \in K[x]$ tel que $z \notin K$, en utilisant l’exercice 12, c) de V, p. 143.)