Bài tập 1, § 5

a) Cho E là một mở rộng của một trường K, $x \in E$ là một phần tử siêu việt trên K và đặt $F = K(x^n)$ với một số nguyên $n > 1$. Chứng minh rằng nếu giao $F \cap K[(x-1)(x^n-1)]$ khác K, thì K có đặc số $p > 0$ và $n = p^e$, do đó $K(x)$ là một mở rộng p-căn của F. (Viết $y = x-1$ và dùng Bài tập 12, b) của V, p. 149, chứng minh rằng $(y+1)^n - 1 = a y^n$ với một $a \in K$.) b) Chứng minh rằng nếu $K \subset F' \subset K(x)$, nếu $K(x)$ không là một mở rộng p-căn của $F'$ và nếu $K \neq F' \neq K(x)$, thì tồn tại $z \in K[x]$ sao cho $z \notin K$ và $F' \cap K[z] = K$. (Lập luận bằng phản chứng, dùng a) và Bài tập 12, b) của V, p. 149.)

c) Trong cùng các giả thiết như ở b), giả sử rằng $F' = K(y)$, trong đó $y \in K[x]$; chứng minh rằng tồn tại $u \in K[x]$ sao cho $u \notin K$ và $F' \cap K(u) = F' \cap K[u] = K$. (Nhận thấy rằng nếu điều này sai thì ta sẽ có $F' \cap K[z] \neq K$ với mọi $z \in K[x]$ sao cho $z \notin K$, dùng Bài tập 12, c) của V, p. 149.)