Exercice 1, § 7

a) Soit K un corps de caractéristique $p > 0$. On dit qu’une extension algébrique F de K de degré fini est exceptionnelle si elle n’est pas séparable sur K et si elle ne contient aucun élément $x \notin K$ radiciel sur K, autrement dit si $F^p \cap K = K^p$ (V, p. 144, exerc. 3). Montrer que si F est exceptionnelle et si $E = F_s, z \in F, z \notin E$ et $z^p \in E$, alors, pour tout $t \in K$, on a $z^p \notin E^p(t)$ (observer que dans le cas contraire, on aurait $E^p(t) = E^p(z^p)$, et par suite $t \in E^p$). b) Inversement, soient E une extension algébrique séparable de K, de degré fini, et soit $x \in E$ tel que, pour tout $t \in K$, on ait $x^p \notin E^p(t)$. Soit $F = E(x^{1/p})$, de sorte que $E = F_s$. Montrer que F est une extension exceptionnelle de K. (S’il existait $y \in F$ tel que $y \notin E$ et $y^p = z \in K$, montrer que l’on aurait $z \in E^p(x)$; cela entraîne que $z \in E^p$, donc $y \in E$, ce qui est contradictoire.) On dit qu’une extension séparable E de K, de degré fini, est fortement séparable si la réunion des corps $E^p(t)$, où t parcourt K, est distincte de E ; il revient donc au même de dire que $E = F_s$, où F est une extension non séparable exceptionnelle de K. Une extension fortement séparable de K ne peut être un corps parfait. c) Montrer que si E est une extension fortement séparable de K, il est impossible que $[E : E^p] = p$. (Raisonner par l’absurde en montrant que la relation $[E : E^p] = p$ entraînerait $E^p(t) = E$ pour tout $t \in K$ tel que $t \notin E^p$; remarquer d’autre part que si $K \subset E^p$, E ne peut être fortement séparable sur K que s’il est parfait.) d) Montrer que si $[K : K^p] = p$, il n’y a pas d’extension fortement séparable de K, ni par suite d’extension exceptionnelle de K.