Bài tập 1, § 7

a) Cho $K$ là một trường có đặc số $p > 0$. Một mở rộng đại số $F$ của $K$ có bậc hữu hạn được gọi là ngoại lệ nếu nó không tách được trên $K$ và nếu nó không chứa phần tử x \notin K nào là căn p trên K, nói cách khác nếu F^p \cap K = K^p (V, p. 151, Ex. 3). Chứng minh rằng nếu F là ngoại lệ và nếu E = F_s, z \in F, z \notin E và z^p \in E, thì với mỗi t \in K ta có z^p \notin E^p(t) (nhận xét rằng nếu không thì ta sẽ có E^p(t) = E^p(t^p) và do đó t \in F^p).

b) Ngược lại, cho E là một mở rộng đại số tách được của K có bậc hữu hạn, và cho x \in E sao cho với mỗi t \in K ta có x \notin E^p(t). Đặt F = E(x^{1/p}), khi đó E = F_s. Chứng minh rằng F là một mở rộng ngoại lệ của K. (Nếu tồn tại y \in F sao cho y \notin E và y^p = z \in K, chứng minh rằng ta sẽ có z \in E^p(x); điều này sẽ suy ra z \in E^p, do đó y \in E, là một mâu thuẫn.)

Một mở rộng tách được E của K có bậc hữu hạn được gọi là tách được mạnh nếu hợp của các trường E^p(t), trong đó t chạy qua K, là phân biệt với E; do đó điều này tương đương với việc nói rằng E = F_s, trong đó F là một mở rộng ngoại lệ không tách được của K. Một mở rộng tách được mạnh của K không thể là một trường hoàn hảo.

c) Chứng minh rằng nếu E là một mở rộng tách được mạnh của K thì không thể có [E:E^p] = p. (Lập luận bằng phản chứng, chỉ ra rằng [E:E^p] = p sẽ suy ra E^p(t) = E với mọi t \in K sao cho t \notin K^p; mặt khác, nhận xét rằng nếu K \subset E^p, thì E không thể tách được mạnh trên K trừ khi nó là hoàn hảo.)

d) Chứng minh rằng nếu [K:K^p] = p, thì không tồn tại mở rộng tách được mạnh nào của K, và do đó cũng không tồn tại mở rộng ngoại lệ nào của K.