Exercice 2, § 7

Soient k un corps imparfait de caractéristique $p$, $a \in k$ un élément tel que $a \notin k^p$, F le corps $k(X)$ des fractions rationnelles à une indéterminée sur $k$; on pose $y = X^{p^2}/(X^p + a)$ et $K = k(y)$. a) Montrer que $[F : K] = p^2$, de sorte que $T^{p^2} - yT^p - ay$ est le polynôme minimal de X dans $K[T]$; en déduire que la fermeture séparable de K dans F est $E = k(X^p)$ (cf. V, p. 142, exerc. 11). b) Montrer que F est une extension exceptionnelle (exerc. 1) de K. (Raisonner par l’absurde, en supposant qu’il existe $b \in F$ tel que $b \notin K$ et $b^p \in K$. Observer que $K(b) = k(z)$, où $z = r(X)/s(X)$ avec $\deg r = p$, $\deg s \leq p$, $r$ et $s$ étant des polynômes étrangers de $k[X]$; montrer que $z^p \in K$ et que le polynôme minimal de X sur K est $r(T)^p - z^p s(T)^p$ à un facteur près dans K. Conclure, en utilisant a), que l’on aurait $a \in k \cap F^p = k^p$ contrairement à l’hypothèse.)