Bài tập 2, § 7

Cho k là một trường không hoàn thiện có đặc số p, a \in k là một phần tử sao cho a \notin k^p, F là trường k(X) của các phân thức hữu tỉ theo một ẩn trên k; đặt y = X^{p^2}/(X^p + a) và K = k(y).

a) Chứng minh rằng [F:K] = p^2, do đó T^{p^2} - yT^p - ay là đa thức tối tiểu của X trong K[T]; suy ra rằng bao đóng tách được tương đối của K trong F là E = k(X^p) (xem V, p. 148, Bài tập 11).

b) Chứng minh rằng F là một mở rộng ngoại lệ (Bài tập 1) của K. (Lập luận bằng phản chứng, giả sử b \in F sao cho b \notin K và b^p \in K. Nhận thấy rằng K(b) = k(z), trong đó z = r(X)/s(X) với deg r = p, deg s \leq p và r, s là các đa thức nguyên tố cùng nhau trong k[X]; chứng minh rằng z^p \in K và đa thức tối tiểu của X trên K là r(T)^p - z^p s(T)^p sai khác bởi một nhân tử thuộc K. Kết luận, dùng a), rằng khi đó ta sẽ có a \in k \cap F^p = k^p, trái với giả thiết.)