Exercice 3, § 7

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, E une extension de degré fini de K, $E_r$ et $E_s$ la plus grande extension radicielle et la plus grande extension séparable de K contenues dans E. Montrer que $E_s \otimes_K E_r$ est isomorphe à la fermeture séparable de $E_r$ dans E, avec laquelle on l’identifie ; si elle n’est pas égale à E, E est une extension exceptionnelle de $E_r$ et $E_s \otimes_K E_r$ une extension fortement séparable de $E_r$. Inversement, soit E une extension exceptionnelle d’un corps L, et soit K un sous-corps de L tel que L soit radiciel sur K et $[L : K] < + \infty$; alors L est la plus grande extension radicielle de K contenue dans E.