Exercice 4, § 7

Soient K un corps, $E = K(x)$ une extension algébrique séparable de K, $f$ le polynôme minimal de x dans $K[X]$. a) Soit F une extension de K ; dans l’anneau $F[X]$, le polynôme $f$ se décompose en un produit $f_1 f_2 \ldots f_r$ de polynômes irréductibles et séparables deux à deux distincts. Montrer que l’algèbre $E \otimes_K F$ est isomorphe au produit des corps $F[X]/(f_j)$ ($1 \leq j \leq r$). b) On suppose que $F = K(y)$ est une extension algébrique séparable de K ; soit $g$ le polynôme minimal de y dans $K[X]$, et soit $g = g_1 g_2 \ldots g_s$ la décomposition de $g$ en produit de polynômes irréductibles dans $E[X]$. Montrer que $r = s$ et que si $m = \deg f, n = \deg g, m_j = \deg f_j, n_j = \deg g_j$, on peut, après avoir éventuellement permuté les $g_j$, supposer que $m_j/n_j = m/n$ pour $1 \leq j \leq r$.