Bài tập 4, § 7

Cho K là một trường, E = K(x) là một mở rộng đại số tách được của K và f là đa thức tối tiểu của x trong K[X].

a) Cho F là một mở rộng của K; trong vành F[X] đa thức f phân tích thành một tích f_1 f_2 \ldots f_r gồm các đa thức bất khả quy và tách được, phân biệt từng đôi một. Hãy chứng minh rằng đại số E \otimes_K F đẳng cấu với tích các trường F[X]/(f_j) (1 \leq j \leq r).

b) Giả sử rằng F = K(y) là một mở rộng đại số tách được của K; gọi g là đa thức tối tiểu của y trong K[X], và gọi g = g_1 g_2 \ldots g_s là phân tích của g thành một tích các đa thức bất khả quy trong $E[X]$. Hãy chứng minh rằng $r = s$ và rằng nếu $m = \deg f,\ n = \deg g,\ m_j = \deg f_j,\ n_j = \deg g_j$ thì, sau khi hoán vị các $g_j$ nếu cần, ta có thể giả sử rằng $m_j / n_j = m / n$ với $1 \leq j \leq r$.