Exercice 6, § 9

a) Soient K un corps d’exposant caractéristique p, L une extension de K, Ω une clôture algébrique de L, \overline{K} la fermeture algébrique de K dans Ω. Montrer que \overline{K} et L^{p^{-∞}} sont linéairement disjointes sur E = \overline{K} ∩ L^{p^{-∞}}. (Soit (a_λ) une base de l’espace vectoriel L^{p^{-∞}} sur E ; considérer une relation linéaire $\sum_\lambda c_\lambda a_\lambda = 0$ où les c_λ ∈ \overline{K} et où le nombre des c_λ qui sont ≠ 0 est le plus petit possible, et appliquer à cette relation un L-automorphisme de Ω.) b) Déduire de a) que si E et F sont deux extensions de K telles que E soit algébrique sur K et K algébriquement fermé dans F, deux extensions composées de E et F sont toujours isomorphes.