Bài tập 6, § 9

a) Cho K là một trường có số mũ đặc số p, L là một mở rộng của K, Ω là một bao đóng đại số của L và $\overline{K}$ là bao đóng đại số tương đối của K trong R. Hãy chỉ ra rằng $\overline{K}$ và $L^{p^{-\infty}}$ rời nhau tuyến tính trên $E = K \cap L^{p^{-\infty}}$. (Lấy (a,) là một cơ sở của không gian vectơ $L^{p^{-\infty}}$ trên E ; xét một quan hệ $\sum_{\lambda} c_{\lambda} a_{\lambda} = 0$, trong đó c, $\in \overline{K}$ và số các $c_{\lambda}$ khác không là nhỏ nhất có thể, rồi áp dụng một tự đẳng cấu L của $\Omega$ cho quan hệ này.) b) Suy ra từ a) rằng nếu E và F là hai mở rộng của K sao cho E là đại số trên K và K là đóng đại số tương đối trong F, thì mọi mở rộng hợp thành của E và F đều đẳng cấu.