Exercice 8, § 9

Algèbre, V, p. 147

Soient K un corps infini, E une extension algébrique de K, de degré fini, τ un automorphisme du K-espace vectoriel E, tel que pour tout x ∈ E, τ(x) soit conjugué de x sur K. Montrer que τ est un K-automorphisme du corps E. (Soit N l’extension quasi-galoisienne de K engendrée par E, et soient Γ le groupe des K-automorphismes de N, Δ le sous-groupe de Γ formé des E-automorphismes, σ_j (1 ≤ j ≤ r) un système de représentants des classes à gauche suivant Δ. Si (u_i)₁≤i≤n est une base du K-espace vectoriel E, considérer le polynôme

F(X_1, ..., X_n) = \prod_{j=1}^r \left( \sum_{i=1}^n (\tau(u_i) - \sigma_j(u_i)) X_i \right)

Solution

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