Exercice 12, § 1

Étant donné un groupe réticulé $G$, on dit qu’un sous-groupe $H$ de $G$ est coréticulé si, pour tout couple d’éléments $x, y$ de $H$, $\sup_G(x, y) \in H$ (et est donc égal à $\sup_H(x, y)$). a) Si $G = \mathbf{Q} \times \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ ($\mathbf{Q}$ étant ordonné par l’ordre usuel), le sous-groupe $H$ des $(x, y, z)$ tels que $z = x + y$ est réticulé, mais non coréticulé. b) Tout sous-groupe isolé (exerc. 4) et filtrant $H$ d’un groupe réticulé $G$ est coréticulé. c) Soient $G$ un groupe réticulé, $H$ un sous-groupe quelconque de $G$, $H'$ l’ensemble des bornes inférieures des parties finies de $H$, et $H''$ l’ensemble des bornes supérieures des parties finies de $H'$. Montrer que $H''$ est le plus petit sous-groupe coréticulé de $G$ contenant $H$ (utiliser la remarque de VI, p. 16).