Bài tập 12, § 1

Cho một nhóm có thứ tự dàn G, một nhóm con H của G được gọi là một colattice nếu với mỗi cặp x, y các phần tử của H, $\sup_G(x, y) \in H$ (và do đó bằng $\sup_H(x, y)$). a) Nếu $G = \mathbf{Q} \times \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ (trong đó Q có thứ tự thông thường), thì nhóm con H gồm các bộ ba (x, y, z) sao cho z = x + y là một dàn nhưng không phải là một colattice. b) Mọi nhóm con lồi bị lọc (BT. 4) H của một nhóm có thứ tự dàn G đều là một colattice. c) Cho G là một nhóm có thứ tự dàn và H là một nhóm con tùy ý của G. Định nghĩa H' là tập hợp các cận dưới lớn nhất của các tập con hữu hạn của H, và H" là tập hợp các cận trên nhỏ nhất của các tập con hữu hạn của H'. Chứng minh rằng H" là colattice nhỏ nhất của G chứa H (dùng nhận xét ở VI, p. 16).