Exercice 13, § 1

Algèbre, VI, p. 30

a) On dit qu’un monoïde $M$ est semi-réticulé inférieurement (ou semi-réticulé pour simplifier), si c’est un monoïde ordonné, si $\inf(x, y)$ existe pour tout couple d’éléments $x, y$ de $M$ , et si l’on a

\inf(x + z, y + z) = \inf(x, y) + z

EXERCICES

quels que soient $x, y, z$ dans $M$ . Démontrer qu’on a alors les identités :

\inf(x, z) + \inf(y, z) = \inf(x + y, z + \inf(x, y, z))

\inf(x, y, z) + \inf(x + y, y + z, z + x) = \inf(x, y) + \inf(y, z) + \inf(z, x) .

Déduire de la première de ces relations que $x \leq z$ et $y \leq z$ entraînent $x + y \leq z + \inf(x, y)$ .

Montrer que la prop. 11 et ses corollaires (VI, p. 14) sont valables dans un monoïde semi-réticulé.

b) Soient $M$ un monoïde semi-réticulé, $N$ un sous-monoïde de $M$ tel que $\inf_M(x, y) = \inf_N(x, y)$ pour $x, y$ dans $N$ et que les éléments de $N$ soient symétrisables dans $M$ . Montrer que le sous-groupe $G$ de $M$ formé des éléments $x - y$ , pour $x, y$ dans $N$ , est réticulé.

Solution

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