Bài tập 13, § 1

a) Một monoid M được gọi là có thứ tự nửa dàn dưới (hay đơn giản là có thứ tự nửa dàn) nếu nó là một monoid có thứ tự, nếu inf(x, y) tồn tại với mọi x, y ∈ M, và nếu

với mọi x, y, z ∈ M. Chứng minh các đẳng thức:

Từ hệ thức thứ nhất trong các hệ thức này, suy ra rằng $x \leq z$ và $y \leq z$ kéo theo $x + y \leq z + \inf(x, y)$.

Chứng minh rằng Mệnh đề 11 và Hệ quả (VI, pp. 14-15) đúng trong một monoid có thứ tự nửa dàn. b) Cho $M$ là một monoid có thứ tự nửa dàn và $N$ là một monoid con sao cho $\inf_M(x, y) = \inf_N(x, y)$ với $x, y \in N$ và sao cho các phần tử của $N$ là khả nghịch trong $M$. Chứng minh rằng nhóm con $G$ của $M$ gồm các phần tử $x - y$ với $x, y \in N$, là có thứ tự dàn.