Exercice 24, § 1

Soient A un anneau commutatif et I l’ensemble de tous les idéaux de A. Pour a, b, c dans I, on a d’après I, p. 102, la relation $a(b + c) = ab + ac$; en d’autres termes, I, muni de la relation d’ordre $a \supset b$, et de la loi de composition $(a, b) \mapsto ab$, est un monoïde semi-réticulé (VI, p. 30, exerc. 13), la borne supérieure de deux éléments a, b de I étant $a \cap b$, et leur borne inférieure $a + b$. a) Soient K un corps, $A = K[X, Y]$ l’anneau des polynômes à 2 indéterminées sur K. Dans A, on considère les idéaux principaux $a = (X), b = (Y), c = (X + Y)$; montrer qu’on a

b) Dans l’anneau A, 1 est un pgcd de X et Y, mais $(X) + (Y) \neq A$.