Bài tập 24, § 1

Cho A là một vành giao hoán và I là tập hợp tất cả các iđêan của A. Khi đó $a(b + c) = ab + ac$ với mọi $a, b, c$ trong I, theo I, p. 107; nói cách khác I, với quan hệ thứ tự $a \supseteq b$ và luật hợp thành $(a, b) \mapsto ab$, là một môđun nửa dàn có thứ tự (VI, p. 31, Bài tập 13), cận trên đúng của hai phần tử a, b của I là $a \cap b$, và cận dưới đúng của chúng là $a + b$.

a) Cho K là một trường và $A = K[X, Y]$ là vành các đa thức theo hai biến bất định trên K. Xét các iđêan chính $a = (X), b = (Y), c = (X + Y)$ trong A. Chứng minh rằng

b) Trong vành A, 1 là một ước chung lớn nhất của X và Y, nhưng $(X) + (Y) \neq A$.