Exercice 28, § 1

Soient G un groupe réticulé, P l’ensemble des éléments $\geqslant 0$ de G. On dit que deux éléments $x, y$ de P sont équivalents si tout élément étranger à l’un est étranger à l’autre ; les classes d’équivalence suivant cette relation sont appelées les filets de P ; on note $\bar{x}$ le filet contenant $x$.

a) Soient $\bar{a}$ et $\bar{b}$ deux filets ; soient $x, x_1$ deux éléments de $\bar{a}$, $y$ et $y_1$ deux éléments de $\bar{b}$ ; montrer que, si tout élément étranger à $x$ est étranger à $y$, alors tout élément étranger à $x_1$ est étranger à $y_1$. On définit ainsi une relation entre $\bar{a}$ et $\bar{b}$, qu’on note $\bar{a} \geqslant \bar{b}$ ; montrer que c’est une relation d’ordre sur l’ensemble F des filets.

b) Montrer que, pour la relation d’ordre ainsi définie, F est réticulé et que l’on a

(utiliser le cor. 3 de VI, p. 14). Montrer que F a pour plus petit élément le filet $\bar{0} = \{0\}$.

c) On dit que deux filets $\bar{a}, \bar{b}$ sont étrangers si $\inf(\bar{a}, \bar{b}) = \bar{0}$. Montrer que si $\bar{a}$ et $\bar{b}$ sont deux filets $\neq \bar{0}$ et si $\bar{a} < \bar{b}$, il existe un filet $\bar{c} \neq \bar{0}$, étranger à $\bar{a}$ et tel que $\bar{c} < \bar{b}$.

d) On dit qu’un filet $\bar{m} \neq \bar{0}$ est extrémal si c’est un élément minimal de l’ensemble des filets $\neq \bar{0}$. Montrer qu’un filet extrémal $\bar{m}$ est totalement ordonné (si $a$ et $b$ sont deux éléments de $\bar{m}$, considérer les filets auxquels appartiennent $a - \inf(a, b)$ et $b - \inf(a, b)$ et utiliser $b$). Montrer en outre que la réunion de $\bar{m}$, de $-\bar{m}$ et de $\{0\}$ est un sous-groupe totalement ordonné $H(\bar{m})$ de G.

e) Étant donnée une famille $(\bar{m}_i)$ de filets extrémaux distincts de G, montrer que le sous-groupe H engendré par la réunion des $\bar{m}_i$ est isomorphe à la somme directe des groupes $H(\bar{m}_i)$ (se ramener à une famille finie, et procéder par récurrence).

f) Montrer que, dans un produit (resp. une somme directe) de groupes totalement ordonnés non réduits à l’élément neutre, les éléments des filets extremaux sont ceux dont toutes les coordonnées sont nulles, à l’exception d’une seule (qui est $> 0$). En déduire qu’un groupe ordonné ne peut être que d’une seule manière produit (resp. somme directe) de groupes totalement ordonnés non réduits à 0 (c’est-à-dire que les facteurs sont uniquement déterminés).