Bài tập 28, § 1

Cho G là một nhóm có thứ tự dàn với các phần tử dương P. Hai phần tử x và y của P được gọi là tương đương nếu mọi phần tử nguyên tố cùng nhau với một trong chúng cũng nguyên tố cùng nhau với phần tử kia: các lớp tương đương theo quan hệ này được gọi là các sợi của P; ký hiệu $\overline{x}$ là sợi chứa x. a) Cho $\overline{a}$ và $\overline{b}$ là các sợi; cho x, $x_1$ là các phần tử của n và y, y, là các phần tử của $\overline{b}$; chứng minh rằng nếu mọi phần tử nguyên tố cùng nhau với x cũng nguyên tố cùng nhau với y, thì mọi phần tử nguyên tố cùng nhau với $x_1$ cũng nguyên tố cùng nhau với $y_1$. Định nghĩa một quan hệ theo cách này giữa a và b, ký hiệu $a \geq b$; chứng minh rằng đây là một quan hệ thứ tự trên tập hợp F các sợi. b) Chứng minh rằng F là một dàn theo quan hệ thứ tự này, và rằng

(sử dụng Hệ quả 3 của VI, p. 15). Chứng minh rằng F có một phần tử nhỏ nhất, đó là sợi $\overline{0} = \{0\}$. c) Gọi hai sợi a, b là nguyên tố cùng nhau nếu $\inf(\overline{a}, \overline{b}) = \overline{0}$. Chứng minh rằng nếu a và b là hai sợi $\neq \overline{0}$, và nếu $\overline{a} < \overline{b}$, thì tồn tại một sợi $\overline{c}$, nguyên tố cùng nhau với a, sao cho $\overline{c} < \overline{b}$. d) Gọi một sợi m $\neq \overline{0}$ là bất khả quy nếu nó là một phần tử cực tiểu của tập hợp các sợi $\neq \overline{0}$. Chứng minh rằng một sợi bất khả quy là được sắp thứ tự toàn phần (nếu a và b là hai phần tử của $\overline{m}$, xét các sợi chứa a $\inf(a, b)$ và $b - \inf(a, b)$ và sử dụng b)). Cũng chứng minh rằng hợp của $\overline{m}$, $-\overline{m}$ và $\{0\}$ là một nhóm con có thứ tự toàn phần II($\overline{m}$) của G. e) Cho một họ (m,) các sợi bất khả quy phân biệt của G, chứng minh rằng nhóm con H sinh bởi hợp của các $\overline{m_i}$ là đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm H($\overline{m_i}$) (rút gọn về trường hợp một họ hữu hạn, và lập luận bằng quy nạp).

f) Chứng minh rằng trong một tích (tương ứng, tổng trực tiếp) của các nhóm có thứ tự toàn phần khác không, các phần tử của các sợi bất khả quy là những phần tử mà tất cả các tọa độ đều bằng không ngoại trừ một tọa độ (là dương). Suy ra rằng một nhóm có thứ tự có thể là một tích (tương ứng, tổng trực tiếp) của các nhóm có thứ tự toàn phần khác không theo nhiều nhất một cách (nói cách khác, các thừa số được xác định duy nhất).