Exercice 29, § 1

On dit qu’un groupe ordonné G est complètement réticulé s’il est filtrant et si toute partie majorée non vide de G admet une borne supérieure dans G. On dit qu’un monoïde semi-réticulé inférieurement M est complètement semi-réticulé si, pour toute famille minorée non vide $(x_\alpha)$ d’éléments de M, $\inf_{\alpha} (x_\alpha)$ existe, et si l’on a

pour deux familles minorées non vides $(x_\alpha), (y_\beta)$. Un groupe complètement réticulé est un monoïde complètement semi-réticulé.

a) Montrer que, pour qu’un groupe filtrant G soit complètement réticulé, il faut et il suffit que toute partie non vide de l’ensemble P des éléments $\geqslant 0$ de G admette une borne inférieure dans P.

b) Tout produit de groupes complètement réticulés est complètement réticulé.

c) Tout sous-groupe isolé et filtrant d’un groupe complètement réticulé est complètement réticulé.