Bài tập 29, § 1

Một nhóm G có thứ tự được gọi là hoàn toàn có thứ tự dàn nếu nó là lọc và nếu mọi tập con khác rỗng của G bị chặn trên đều có một cận trên đúng trong G. Một vị nhóm có thứ tự nửa dàn dưới được gọi là hoàn toàn có thứ tự nửa dàn nếu $\inf(x_\alpha)$ tồn tại đối với mọi họ khác rỗng các phần tử $(x_i)$ của M bị chặn dưới, và nếu

đối với hai họ khác rỗng $(x_i), (y_j)$ bất kỳ bị chặn dưới. Một nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn là một vị nhóm có thứ tự nửa dàn hoàn toàn. a) Chứng minh rằng một điều kiện cần và đủ để một nhóm có lọc G có thứ tự dàn hoàn toàn là mọi tập con khác rỗng của tập hợp P các phần tử dương của G đều có một cận dưới đúng trong P. b) Mọi tích của các nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn đều là nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn. c) Mọi nhóm con lồi có lọc của một nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn đều là nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn.