Exercice 30, § 1

Soit G un groupe ordonné. Pour toute partie A de G, on note $m(A)$ (resp. $M(A)$) l’ensemble des minorants (resp. majorants) de A dans G ; on a $m(A) = -M(-A)$.

a) La relation $A \subset B$ entraîne $m(B) \subset m(A)$ et $M(m(A)) \subset M(m(B))$. b) On a $A \subset M(m(A))$ et $M(m(M(A))) = M(A)$. c) Si $(A_i)$ est une famille quelconque de parties de $G$, on a $m(\bigcup_i A_i) = \bigcap_i m(A_i)$. d) Tout ensemble $M(B)$, où $B$ est une partie majorée et non vide de $G$ est appelé un ensemble majeur dans $G$. Pour toute partie minorée non vide $A$ de $G$, $M(m(A))$ est le plus petit ensemble majeur contenant $A$; on le note $\langle A \rangle$; si $A \subset B$, on a $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$; si $A$ admet une borne inférieure $a$ dans $G$, on a $\langle A \rangle = M(a)$, ensemble qu’on note encore $\langle a \rangle$. e) Si $A$ et $B$ sont deux parties minorées non vides de $G$, on a $\langle A + B \rangle = \langle \langle A \rangle + B \rangle$. En déduire que, dans l’ensemble $\mathfrak{M}(G)$ des ensembles majeurs de $G$, l’application $(A, B) \mapsto \langle A + B \rangle$ est une loi de composition associative et commutative, pour laquelle $\langle 0 \rangle = P$ est élément neutre, que la relation d’ordre $A \supset B$ est compatible avec cette loi de composition, et que $\mathfrak{M}(G)$, pour ces structures, est un monoïde complètement semi-réticulé (exerc. 29) si $G$ est filtrant. En outre l’application $x \mapsto \langle x \rangle$ de $G$ dans $\mathfrak{M}(G)$ est un isomorphisme du groupe ordonné $G$ sur un sous-groupe du monoïde $\mathfrak{M}(G)$. f) Si un élément $A$ de $\mathfrak{M}(G)$ est symétrisable pour la loi de composition de ce monoïde, son symétrique est $M(-A) = -m(A)$ (remarquer que, si $B$ est symétrique de $A$, on a les relations $B \subset M(-A)$, et $A + M(-A) \subset \langle 0 \rangle$, d’où $\langle A + B \rangle = \langle A + M(-A) \rangle$). g) Pour qu’un élément $A$ de $\mathfrak{M}(G)$ soit symétrisable, il faut et il suffit que $x + A \subset A$ entraîne $x \geqslant 0$ (exprimer que $0 \in \langle A + M(-A) \rangle$).