Bài tập 30, § 1

Cho G là một nhóm có thứ tự. Với mọi tập con A của G, ký hiệu $m(A)$ (resp. $M(A)$) là tập hợp các cận dưới (resp. cận trên) của A trong G; khi đó $m(A) = -M(-A)$. a) Quan hệ $A \subset B$ suy ra $m(B) \subset m(A)$ và $M(m(A)) \subset M(m(B))$. b) Ta có $A \subset M(m(A))$ và $M(m(M(A))) = M(A)$. c) Nếu $(A_i)$ là một họ tùy ý các tập con của G thì $m\left( \bigcup_i A_i \right) = \bigcap_i m(A_i)$. d) Mọi tập hợp $M(B)$, trong đó B là một tập con khác rỗng bị chặn trên trong G, được gọi là một tập lớn trong G. Với mọi tập con A khác rỗng bị chặn dưới trong G, tập hợp $M(m(A))$ là tập lớn nhỏ nhất chứa A; ký hiệu tập đó là $(A)$; nếu $A \subset B$ thì $(A) \subset (B)$; nếu A có infimum a trong G, thì $(A) = M(a)$, và ta cũng viết là (a). e) Nếu A và B là hai tập con khác rỗng bị chặn dưới trong G, thì $(A + B) = ((A) + B)$. Suy ra rằng, trong tập hợp $\mathfrak{M}(G)$ các tập lớn trong G, ánh xạ $(A, B) \mapsto (A + B)$ là một luật hợp thành kết hợp và giao hoán, với $(0) = P$ là phần tử đơn vị, rằng quan hệ thứ tự $A \supset B$ tương thích với luật này, và rằng $\mathfrak{M}(G)$, với cấu trúc này, là một nửa dàn hoàn toàn có thứ tự monoid (Ex. 29) nếu G là lọc. Hơn nữa, ánh xạ $x \mapsto (x)$ từ G vào $\mathfrak{M}(G)$ là một đẳng cấu từ nhóm có thứ tự G lên một nhóm con của monoid $\mathfrak{M}(G)$. f) Nếu một phần tử A của $\mathfrak{M}(G)$ khả nghịch theo luật hợp thành của monoid này, thì phần tử nghịch đảo của nó là $M(-A) = -m(A)$ (chú ý rằng nếu B là phần tử nghịch đảo của A, thì các quan hệ $B \subset M(-A)$ và $A + M(-A) \subset (0)$ được thỏa mãn, do đó $\langle A + B \rangle = \langle A + M(-A) \rangle$). g) Đối với một phần tử A của $\mathfrak{M}(G)$, để A khả nghịch, điều kiện cần và đủ là $x + A \subset A$ suy ra $x \geq 0$ (hãy viết ra một biểu thức cho $0 \in (A + M(-A))$).