Exercice 31, § 1

On dit qu’un groupe ordonné $G$ est archimédien si les seuls éléments $x \in G$ tels que l’ensemble des $nx$ ($n$ entier $> 0$) soit minoré, sont les éléments positifs de $G$. a) Pour que le monoïde $\mathfrak{M}(G)$ des ensembles majeurs d’un groupe ordonné $G$ soit un groupe, il faut et il suffit que $G$ soit archimédien (utiliser l’exerc. 30, g) et d)). Si en outre $G$ est filtrant, $\mathfrak{M}(G)$ est alors un groupe complètement réticulé. b) En déduire que, pour qu’un groupe ordonné filtrant $G$ soit isomorphe à un sous-groupe d’un groupe complètement réticulé, il faut et il suffit que $G$ soit archimédien.