Bài tập 31, § 1

Một nhóm G có thứ tự được gọi là Archimedes nếu các phần tử duy nhất $x \in G$ sao cho tập hợp của $nx$ (n một số nguyên dương) bị chặn dưới là các phần tử dương của G.

a) Nửa nhóm $\mathscr{M}(G)$ gồm các tập hợp lớn của một nhóm G có thứ tự là một nhóm khi và chỉ khi G là Archimedes (dùng Bài tập 30, g) và d)). Nếu thêm vào đó G là lọc, thì $\mathscr{M}(G)$ là một nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn. b) Suy ra rằng một nhóm lọc G là đẳng cấu với một nhóm con của một nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn khi và chỉ khi G là Archimedes.