Exercice 32, § 1

a) Soient $G$ un groupe complètement réticulé, et $H$ un sous-groupe de $G$. Pour tout ensemble majeur $A$ du groupe $H$, on note $x_A$ la borne inférieure de $A$ dans $G$; montrer que l’application $A \mapsto x_A$ de $\mathfrak{M}(H)$ dans $G$ est injective (établir que $A$ est l’ensemble des $y \in H$ tels que $y \geqslant x_A$). b) Pour toute partie $B$ de $H$, minorée dans $H$, on désigne par $\langle B \rangle$ l’ensemble majeur engendré par $B$ dans $H$ (élément de $\mathfrak{M}(H)$). Si, pour toute partie $B$ de $H$, minorée dans $H$, on a l’égalité $\inf B = \inf \langle B \rangle$ (bornes inférieures prises dans $G$), montrer que l’application $A \mapsto x_A$ est un isomorphisme du groupe ordonné $\mathfrak{M}(H)$ sur un sous-groupe de $G$ (cf. exerc. 30, e)). c) Si tout élément de $G$ est borne inférieure d’une partie de $H$, montrer que, pour toute partie $B$ de $H$, minorée dans $H$, on a $\inf B = \inf \langle B \rangle$ (bornes inférieures prises dans $G$). (Remarquer que cette relation est vraie si $\inf B \in H$; dans le cas général, considérer un élément $x \in G$ tel que $x + \inf B \in H$, exprimer que $x$ est borne inférieure d’une partie de $H$ et utiliser l’exerc. 30, e).) d) \* Soit $G$ le groupe complètement réticulé $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \times \mathbf{R}$. Soit $\theta$ un nombre irrationnel $> 0$; soit $H$ le sous-groupe des $(x, y, z)$ tels que $\theta(z - x) + y = 0$. Montrer qu’il n’existe aucun isomorphisme du groupe ordonné $\mathfrak{M}(H)$ sur un sous-groupe de $G$, se réduisant à l’application identique dans $H$ (remarquer que $\mathfrak{M}(H)$ est isomorphe à $K = \mathbf{Z} \times \mathbf{R}$; considérer dans $K$ le sous-groupe des $u$ tels que, pour tout entier $n > 0$, il existe $v \in K$ tel que $nv = u$, et le sous-groupe analogue de $G$ ). \*