Bài tập 32, § 1

a) Cho G là một nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn, và H là một nhóm con của G. Với mọi tập con lớn A của nhóm H, ký hiệu $x_A$ là cận dưới lớn nhất của A trong G; hãy chứng minh rằng ánh xạ $A \mapsto x_A$ từ $\mathscr{M}(H)$ vào G là đơn ánh (chứng minh rằng A là tập hợp các $y \in H$ sao cho $y \geq x_A$). b) Với mọi tập con B của H, bị chặn dưới trong H, ký hiệu (B) là tập lớn sinh bởi B trong H (một phần tử của $\mathscr{M}(H)$). Nếu với mọi tập con B của H, bị chặn dưới trong H, đẳng thức $\inf B = \inf (B)$ đúng (các cận dưới lớn nhất được lấy trong G), hãy chứng minh rằng ánh xạ $A \mapsto x_A$ là một đẳng cấu của nhóm có thứ tự $\mathscr{M}(H)$ lên một nhóm con của G (xem Bài tập 30, e)). c) Nếu mọi phần tử của G là cận dưới lớn nhất của một tập con nào đó của H, hãy chứng minh rằng với mọi tập con B của H, bị chặn dưới trong H, ta có $\inf B = \inf (B)$ (các cận dưới lớn nhất được lấy trong G). (Chú ý rằng điều này đúng nếu $\inf B \in H$; trong trường hợp tổng quát, xét một phần tử $x \in G$ sao cho $x + \inf B \in H$ và sử dụng sự kiện rằng $x$ là cận dưới lớn nhất của một tập con nào đó của G, cũng như Bài tập 30, e)). d) \* Cho G là nhóm có thứ tự dàn hoàn toàn $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \times \mathbf{R}$. Cho $0 > 0$ là một số vô tỉ; cho H là nhóm con gồm các $(x, y, z)$ sao cho $\theta(z - x) + y = 0$. Hãy chứng minh rằng không tồn tại đẳng cấu của nhóm có thứ tự $\mathscr{M}(H)$ lên bất kỳ nhóm con nào của G hạn chế trên H thành ánh xạ đồng nhất (chú ý rằng $\mathscr{M}(H)$ đẳng cấu với $K = \mathbf{Z} \times \mathbf{R}$; xét nhóm con của K gồm các phần tử $u$ sao cho, với mọi số nguyên $n > 0$, tồn tại $v \in K$ sao cho $nv = u$, và nhóm con tương tự của G).