Exercice 33, § 1

a) Pour qu’un groupe totalement ordonné $G$ soit archimédien, il faut et il suffit que, pour tout couple d’éléments $x > 0, y > 0$, de $G$, il existe un entier $n > 0$ tel que $y \leqslant nx$. b) Tout groupe archimédien totalement ordonné et complètement réticulé $G$ est isomorphe à $\{0\}, \mathbf{Z}$ ou $\mathbf{R}$ (en écartant les deux premiers cas, on prend $a > 0$ dans $G$, et on fait correspondre à tout $x \in G$ la borne inférieure des nombres rationnels $p/q$ tels que $qx \leqslant pa$). c) En déduire que tout groupe totalement ordonné archimédien est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbf{R}$ (remarquer que $\mathfrak{M}(G)$ est totalement ordonné). d) Le produit lexicographique $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ est totalement ordonné et n’est pas archimédien.