Bài tập 33, § 1

a) Một nhóm được sắp thứ tự toàn phần G là Archimedean khi và chỉ khi, với mọi cặp $x > 0, y > 0$ các phần tử của G, tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $y \leq nx$. \* b) Mọi nhóm G được sắp thứ tự toàn phần, Archimedean, có thứ tự dàn hoàn toàn đều đẳng cấu với $\{0\}, \mathbf{Z}$ hoặc $\mathbf{R}$ (loại trừ hai trường hợp đầu, cố định $a > 0$ trong G, và cho mỗi $x \in G$ tương ứng với infimum của các số hữu tỉ $p/q$ sao cho $qx \leq pa$). c) Suy ra rằng mọi nhóm G Archimedean được sắp thứ tự toàn phần đều đẳng cấu với một nhóm con của $\mathbf{R}$ (chú ý rằng $\mathscr{M}(G)$ được sắp thứ tự toàn phần). d) Tích từ điển $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ được sắp thứ tự toàn phần và không Archimedean.