Exercice 35, § 1

Dans un groupe ordonné $G$, on dit qu’un ensemble majeur $A$ est de type fini s’il existe un ensemble fini $F$ tel que $A = \langle F \rangle$. On dit que $G$ est semi-archimédien si tout ensemble majeur de type fini est symétrisable dans le monoïde $\mathfrak{M}(G)$. Tout groupe réticulé (resp. archimédien) est semi-archimédien (exerc. 31, a).

a) Montrer que tout groupe filtrant semi-archimédien est réticulable (si $nx \geqslant 0$, considérer l’ensemble majeur $\langle F \rangle$ où $F = \{0, x, ..., (n-1)x\}$, et exprimer qu’il est symétrisable en utilisant l’exerc. 30, g). b) \* Soient $K$ le produit lexicographique $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, et $G$ le groupe produit (usuel) $K \times \mathbf{R}$. Soient $\theta$ un nombre irrationnel tel que $0 < \theta < 1$, et $H$ le sous-groupe de $G$ engendré par $((1,0),0)$, $((\theta,0),\theta)$ et $((0,x),0)$, où $x$ parcourt $\mathbf{R}$. Montrer que $H$, sous-groupe du produit de deux groupes totalement ordonnés, n’est pas semi-archimédien (considérer l’ensemble majeur engendré par les deux éléments $((1,0),0)$ et $((\theta,0),\theta)$ de $H$ et montrer qu’il n’est pas symétrisable). c) Soit $G$ un groupe filtrant semi-archimédien ; montrer que la partie stable de $\mathfrak{M}(G)$ engendrée par les ensembles majeurs de type fini et leurs symétriques est un groupe réticulé (cf. VI, p. 31, exerc. 13, b). d) \* Soient $\theta$ un nombre irrationnel $> 0$, $G$ le groupe $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$, où l’on prend pour ensemble $P$ des éléments positifs l’ensemble des $(x,y)$ tels que $x \geqslant 0$ et $y \geqslant \theta x$. Montrer que $G$ est un groupe archimédien, mais que le symétrique, dans $\mathfrak{M}(G)$, d’un ensemble majeur de type fini qui n’est pas de la forme $\langle a \rangle$, n’est pas de type fini. \*