Bài tập 35, § 1

Một tập hợp chính A trong một nhóm có thứ tự G được gọi là sinh hữu hạn nếu tồn tại một tập hợp hữu hạn F sao cho $A = (F)$. Ta nói rằng G là nửa Archimede nếu mọi tập hợp chính sinh hữu hạn đều khả nghịch trong monoid $\mathscr{M}(G)$. Mọi nhóm có thứ tự dàn (tương ứng Archimede) đều là nửa Archimede (Bài tập 31, a)). a) Chứng minh rằng mọi nhóm nửa Archimede lọc đều có thứ tự dàn (nếu $nx \geq 0$, xét tập hợp chính $(F)$, với $F = \{0, x, ..., (n-1)x\}$, và sử dụng Bài tập 30, g) cùng với sự kiện rằng nó khả nghịch). b) \* Cho K là tích từ điển $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, và G là nhóm tích (thông thường) $K \times \mathbf{R}$. Cho 0 là một số vô tỉ sao cho $0 < 0 < 1$, và cho H là nhóm con sinh bởi $((1, 0), 0), ((0, 0), 8)$ và $((0, x), 0)$ trong đó $x$ chạy qua $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng H, là một nhóm con của một tích của hai nhóm có thứ tự toàn phần, không phải là nửa Archimede (xét tập hợp chính sinh bởi hai phần tử ((1, 0), 0) và ((0, 0), 0) của H, và chứng minh rằng nó không khả nghịch). \* c) Cho G là một nhóm lọc nửa Archimede; chứng minh rằng monoid con của $\mathfrak{M}(G)$ sinh bởi các tập hợp chính sinh hữu hạn và các phần tử nghịch đảo của chúng là một nhóm có thứ tự dàn (xem VI, p. 31, Bài tập 13, b)). d) \* Cho $0 > 0$ là một số vô tỉ, và cho G là nhóm $Z \times Z$ trong đó tập hợp P các phần tử dương được lấy là tập hợp các (x, y) sao cho $x \geq 0$ và $y \geq 0x$. Chứng minh rằng G là một nhóm Archimede, nhưng nghịch đảo trong $\mathfrak{M}(G)$ của một tập hợp chính sinh hữu hạn, không có dạng (a), không phải là sinh hữu hạn. \*