Exercice 36, § 1

Soient $G$ un groupe ordonné filtrant, $P$ l’ensemble des éléments $\geqslant 0$ dans $G$. Pour que $G$ soit isomorphe à un groupe $\mathbf{Z}^{(l)}$, il faut et il suffit qu’il existe une application $x \mapsto d(x)$ de $P$ dans $\mathbf{N}$ telle que, si l’on n’a pas $b \geqslant a$, il existe dans l’ensemble majeur $\langle a, b \rangle$ un élément $c$ tel que $d(c) < d(a)$. (Montrer que cette condition est vérifiée dans $\mathbf{Z}^{(l)}$ par $d((x_i)) = \sum_i x_i$ (pour $x_i \geqslant 0$ pour tout $i$). Inversement, si la condition est vérifiée, montrer que tout ensemble majeur $A \subset P$ est de la forme $\langle a \rangle$, en considérant dans $A$ un élément $a$ tel que $d(a) \leqslant d(x)$ pour tout $x \in A$. Appliquer ensuite le th. 2 de VI, p. 17.)