Bài tập 36, § 1

Cho G là một nhóm lọc với các phần tử dương P. Khi đó G đẳng cấu với một nhóm có dạng $\mathbf{Z}^{(1)}$ khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ $x \mapsto d(x)$ từ P vào N sao cho, với mọi b, hoặc $b \geq a$ hoặc tồn tại một phần tử c trong tập lớn (a, b) sao cho $d(c) < d(a)$. (Chứng minh rằng điều kiện này được thỏa mãn trong $\mathbf{Z}^{(1)}$ bởi ánh xạ $d(x_i) = \sum x_i$ (khi $x_i > 0$ với mọi i).

Ngược lại, nếu điều kiện được thỏa mãn, hãy chứng minh rằng mọi tập lớn $A \subset P$ có dạng (a), bằng cách lấy một phần tử a của A sao cho $d(a) \leq d(x)$ với mọi $x \in A$. Áp dụng Định lý 2 của VI, p. 18.)